5.4.  Экономическая теория и математика

Представить себе современную экономическую теорию без ее связи с математикой, особенно с математическим анализом, ис­следованием операций, различными типами математического про­граммирования [35, 130, 213], едва ли возможно. Впрочем, этот союз не лишен многочисленных проблемных моментов. Для нача­ла сконцентрируем свое внимание на двух часто обсуждаемых во­просах. Почему математика столь эффективна применительно к сфере экономики? Почему интенсивная математизация экономи­ческой теории сопряжена с многочисленными неудачами и из­держками? В поисках ответов на оба эти вопроса обратимся прежде всего к предмету математики. Самое популярное его определение принадлежит Н. Бурбаки (коллективное имя группы французских математиков): «Математика представляется скоплением абстрак­тных форм — математических структур» [29, c. 258]. Абстрактное — это «усеченное» конкретное, взятое не во всем его изначальном многообразии свойств и отношений. Абстрактное является резуль­татом отсечения от конкретного части его признаков. Получается, что абстрактное содержится в самой реальности, природной или социальной. Почему бы в таком случае не считать математику эк­спериментальной наукой? Разве нельзя в эксперименте сначала зафиксировать, а затем и измерить то, от чего не абстрагировались? Но хорошо известно, что математика не является эксперименталь­ной наукой. Когда Н.Н. Лобачевский предположил, что в данной плоскости через точку, находящуюся вне рассматриваемой прямой, можно провести две прямые, параллельные ей, то он не исходил из каких-либо экспериментальных фактов и ни от чего не абстра­гировался. Лобачевский рассуждал строго в рамках методологии аксиоматического метода: при таких-то аксиомах и правилах вы­вода получаемые в соответствии с их содержанием теоремы (фор­мулы) истинны. Тот или иной отход от продекларированных акси­ом и правил вывода неизбежно приводит к ложным теоремам. Таким образом, предметом математики являются не абстрактные, а формальные структуры. Эти структуры формальны в том смысле, что они выступают реализацией аксиоматического метода. Фор­мальное и абстрактное — это далеко не одно и то же. Разумеется, не только математика имеет дело с формальными структурами, но и, например, логика. Уточнение предмета математики предпола­гает прямые указания на элементарные формы ее структур, напри­мер числа, функции, матрицы, группы, классы, поля.

2_0

На первый взгляд, проведенное нами уточнение предмета ма­тематики не сулит каких-либо выгод. Но это не так. В методологи­ческом отношении оно чрезвычайно актуально. От него зависит понимание междисциплинарной связи экономической теории и математики. Если математика занимается абстрактными структу­рами, то она должна извлекаться из экономической реальности, что возможно, как многие считают, лишь при ее «огрублении». Та­кой ход мысли вызывает целый ряд недоуменных вопросов. Зачем откуда-то извлекать математику? Зачем «огрублять» экономичес­кую действительность? Разве, например, маржиналисты, просла­вившиеся использованием математического анализа, извлекли его из экономики, а не заимствовали из арсенала математики как та­кового? Что такое математическое моделирование?

Все поставленные выше недоуменные вопросы разом исчезают в случае признания математики формальной, а не абстрактной дис­циплиной. В таком случае, с одной стороны, есть математика, с другой — экономическая теория, а связывает их операция мате­матического моделирования, выступающая как установление со­ответствия между элементами и операциями двух теорий.

Постановкой вопроса о математическом моделировании ныне никого не удивишь. Но его содержательное понимание не лишено трудностей. В весьма авторитетном издании математическая мо­дель определяется как «приближенное описание какого-либо клас­са явлений внешнего мира, выраженное с помощью математичес­кой символики» [175, с. 343]. Но что это значит — «приближенное описание»? От чего-то абстрагировались? К чему-то приблизились или же от чего-то удалились? Или же имеется в виду, что одна мо­дель неминуемо будет заменена другой?

Приведем еще одно показательное определение математической модели. На этот раз речь идет о модели именно экономической системы или же ее части. «Под моделью будем понимать некоторый математический образ исследуемой системы, адекватно отражаю­щий ее структуру, существенные свойства и взаимосвязи» [213, c. 8]. Математическая модель соответствует ее оригиналу и в этом смысле она ему адекватна. Но тогда зачем приводится выражение «отражающий»? Что это значит — отражать? Почему исключается соотношение модели с несущественными свойствами и взаимосвя­зями? Разве непременно необходимо от них абстрагироваться? Конечно же нет.

На наш взгляд, весьма распространенное понимание математи­ческих моделей как известных «огрублений» оригиналов является

2_1

Рецидивом истолкования содержания математических теорий с позиции теории абстракции, в своих истоках восходящей к фило­софии Дж. Локка. Но математические конструкты не являются абстракциями. Они изобретаются человеком благодаря его твор­ческому воображению, а не извлекаются из действительности.

Математическая модель и ее оригинал, каковым в нашем случае является экономическая теория, связаны бинарным отношением, отношением соответствия. Это отношение выступает знаковым. Элементы и операции математической теории интерпретируются в качестве знаков элементов и операций экономической теории. Математическое моделирование связывает две теории, а не мате­матическую теорию с экономической действительностью как та­ковой. Соответствие между моделью и оригиналом может быть полным и неполным (когда некоторые элементы и операции эко­номической теории не обладают своим математическим предста­вителем), взаимно однозначным или же неоднозначным, но не приближенным.

Операция математического моделирования начинается с опре­деления математической модели, но, как нам представляется, она ею не заканчивается. Дело в том, что две стороны моделирования неравнозначны друг другу, между ними всегда есть асимметрия; для исследователя первична не модель, а ее оригинал. Он в соот­ветствии со своими интересами непременно включает определен­ным образом потенциал модели в содержание оригинала. Изобра­зим сказанное в символьном виде.

В начале анализа экономическая (ЭТ) и математическая (МТ) теории разобщены. Экономико-математическое моделирование выступает как установление соответствия между ними: ЭТ→ МТ, где стрелка показывает, что моделирование осуществляется в ин­тересах экономиста. При доминации интересов математика реали­зуется соотношение МТ→ЭТ. Последнее соотношение резонно назвать не экономико-математическим, а математико-экономи-ческим моделированием.

При осуществлении моделирования экономист заинтересован в первую очередь не математической теорией и даже не соответ­ствием ЭТ →> МТ, а экономической теорией как таковой. Иначе говоря, он не останавливается на полпути, т.е. На ЭТ →> МТ, а включает мтв ЭТ,в результате этприобретает новый статус — (ЭТ)МТ. Математическая теория перестает существовать в самосто­ятельном виде, в каковом она пребывала в составе ЭТ → МТ.

2_2

ЭТ→МТ~(ЭТ)МТ.

Здесь знак ~ означает «влечет». Подобно тому как съеденное яблоко перестает существовать в качестве яблока, математика, включенная в экономическую теорию, перестает быть математи­кой. Поясним этот вывод следующим примером.

Рассмотрим три формулы, соответственно из области матема­тики, физики и экономической теории:

У=а-х;            (5.1)

S = vt;            (5.2)

C = k-Y.         (5.3)

Формула (5.2) выражает связь между перемещением (S) тела и его скоростью (v). Формула (5.3) фиксирует связь величин лично­го потребления (С) и личного дохода (Y). Формулы (5.2) и (5.3) обладают не формально-математическим, а содержательным ха­рактером. Вы можете делать с ними все что угодно, но избавиться от их содержательной специфики не удастся. Их в принципе не­возможно превратить в формулу (5.1), обладающую математичес­ким статусом. Можно установить взаимно-однозначное соответ­ствие, например, между формулами (5.1)и(5.3), но это не озна­чает, что (5.1) содержится в (5.3). Между теориями существуют междисциплинарные связи, но неверно считать, что одна теория содержится, буквально «сидит» в другой. Последнее представление должно быть зачислено в разряд теоретического преформизма, согласно которому одни науки содержат в себе другие. Но наука развивается отнюдь не по нормам теоретического преформизма. Во всем она выделяет части и далее рассматривает отношения между ними. В науке междисциплинарные связи рассматривают­ся как отношения соответствия, а не как включенность одной тео­рии в другую.

Выше уже отмечалось, что междисциплинарная связь имеет векторный характер, она направлена от оригинала к модели. Учет характера этой связи имеет важнейшее методологическое значение. Как правило, полагают, что смысл математического моделирова­ния состоит в работе не с экономической теорией как таковой, а с ее математической моделью. В этом убеждении не учитывается, что экономист и математик действуют в принципиально различных манерах. Если математик обращается к экономической теории, то его интересует в конечном счете не она, а математика. Экономист же занимается экономическим оригиналом, т.е. Соответствующей

293

Экономической, а не математической теорией. Суть дела не меня­ется от того, что один и тот же человек может поочередно высту­пать в роли то математика, то экономиста. Плохо, когда экономист выдает себя за математика, а последний позиционирует себя в ка­честве экономиста.

В современной методологической литературе осуждаются мно­жащиеся попытки неудачной математизации экономической тео­рии. Весьма ярко высказывается на этот счет Е.В. Балацкий: «В настоящее время можно утверждать, что причина и одновре­менно следствие прогресса экономической науки заключается в ее широкой математизации» [18, с. 142]. «Можно констатировать не просто сильную, а, пожалуй, чрезмерную математизацию эко­номической науки» [Там же, с. 150]. «Зачем думать над содержа­тельными проблемами, когда можно «поиграть» с математической моделью?» [Там же, с. 152]. Е.В. Балацкий выступает против «оголтелой» математизации экономической науки. Он резонно отмечает, что «математические модели имеют очень важное, но все же подчиненное положение — они как бы встроены в общую теорию. Однако хозяйственные механизмы, принципы и теории могут эволюционировать. Это означает, что отражающие их ма­тематические модели тоже должны перестраиваться и адаптиро­ваться. В результате могут появиться новые эффекты, закономер­ности и законы» [Тамже, с. 151—152]. В основном, поддерживая приведенное выше утверждение Е.В. Балацкого, мы считаем, что он неправомерно ставит знак равенства между чрезмерной мате­матизацией экономической теории и ее корректным математи­ческим описанием. «Таким образом, — отмечает он, — наметив­шаяся чрезмерная математизация современной экономической теории как бы "подтачивает" науку изнутри. Стремление к мак­симально полному и корректному математическому описанию экономических явлений ведет в тупик» [Там же, с. 155]. Выше­упомянутое стремление, разумеется, не ведет в какой-либо тупик. Оно вполне состоятельно, ибо направлено на максимально пол­ное исследование потенциала союза математики и экономиче­ской теории. Невозможно доказать, что этот потенциал лучше использовать, например, наполовину, чем максимально полно­весно. Выражение «чрезмерная математизация экономической науки» нельзя отнести к числу ясных. Исследование потенциала математики не может быть чрезмерным. А вот подмена экономи­ческой теории ее математической моделью — это действительно неоправданная акция.

294

По мнению Е.В. Балацкого, стремление к корректному матема­тическому описанию применительно к экономической науке не­состоятельно в силу известной теоремы К. Гёделя о неполноте: «Любое формальное описание системы либо нечетко, либо проти­воречиво. При исследовании экономических систем это особенно актуально — мы должны придерживаться разумной степени общ­ности описания и вовремя остановиться, чтобы дальнейшее обоб­щение не обернулось противоречием» [118, с. 155—156]. В приве­денном пассаже содержится ряд неточностей. Во-первых, теорема Гёделя не относится к «любому формальному описанию». Так, она неприменима к арифметике в случае, если используется операция трансфинитной индукции. Во-вторых, теорема Гёделя вообще не ставит каких-либо пределов математике, она позволяет отмести чрезмерные, надуманные претензии в ее адрес. Она никак не про­тиворечит максиме Канта: чем больше в науке математики — тем лучше. В-третьих, Е.В. Балацкий неоправданно поспешно перехо­дит от теоремы Гёделя к экономическому аргументу о необходи­мости разумной степени общности описания.

«Не следует забывать,— отмечает он, — и принцип относитель­ности А. Эйнштейна: восприятие явления зависит от точки зре­ния. Поэтому не следует стремиться к построению многоцелевых экономико-математических моделей — имеет смысл ограничить­ся простыми и ясными постановками задач» [Там же, с. 156]. Е.В. Балацкий весьма вольно истолковывает принцип относи­тельности Эйнштейна, согласно которому законы электродина­мики инвариантны во всех инерциальных системах отсчета. От­носительность же восприятия — это положение из психологии, мало что разъясняющее в нашем контексте. По мнению Е.В. Ба­лацкого, не следует стремиться к построению многоцелевых эко­номико-математических моделей. На наш взгляд, такое стремле­ние вполне уместно, ибо содержит значительный эвристический потенциал. Когда в конце ХIХ в. Были разработаны экономико-математические модели на основе математического анализа, то они были многоцелевыми. От имени методологии несостоятелен акцент как на универсализации, так и на специализации эконо­мико-математического моделирования. В известных случаях уместно и то и другое. Если рассматривается зависимость друг от друга переменных величин, то при этом часто уместно исполь­зование аппарата дифференциальных уравнений. Если же необ­ходимо принять решение в условиях конфликта ценностей, то вполне возможно обращение к аппарату единичных матриц, как

295

Это имеет место, например, в аналитике иерархических систем Т. Саати.

Согласно Е.В. Балацкому, надо ограничиваться постановками «простых и ясных» задач. Но в науке идет гонка за концептуальной содержательностью, и уже в ее контексте можно при желании как-то комментировать требования «ясности» и «простоты». Эти тре­бования имеют квазинаучный характер. Иногда их считают эсте­тическими, еще больше запутывая ситуацию с пониманием стату­са теорий.

После всего вышеизложенного появилась возможность содер­жательной, как нам представляется, интерпретации двух вопросов, поставленных в начале параграфа, об эффективности союза мате­матики и экономики и его неудачах.

В экономической науке рост научного знания идет по цепочке

(ЭТ0)МТ 0→ (ЭТ1)МТ 1→ (ЭТ2)МТ2 →…

Каждое последующее звено превосходит предыдущее за счет обогащения его более содержательной в формальном отношении математической теорией (в содержательном отношении МТ0 < <МТ1 < МТ2). На первый взгляд, прирост качественно-количест­венного потенциала экономической теории (Э Т) за счет матема­тической теории (мтi) кажется чем-то непостижимым постольку, поскольку он привносится из чуждого экономической теории мира. Каким образом чуждое экономике может усилить ее потен­циал? Вроде бы непонятно. Все становится на свои места, если учесть сложную историю взаимосвязи математики с многочи­сленными другими науками. При всей ее самостоятельности и специфике математика развивается не в автономном режиме. Ма­тематическое моделирование связывает математику с другими науками сотнями нитей. А это означает, что математика лишь относительно независима от других наук: она постоянно смотрит на себя в их зеркале. Потенциал математики отнюдь не чужд дру­гим наукам, в том числе и экономической. Что же касается отно­сительной самостоятельности математики, то она не только не вредит ей, а, наоборот, способствует ее быстрому развитию, ко­торое не «тормозится» необязательными для математики содер­жательными факторами.

Но там, где есть две стороны, как, например, в случае союза математики и экономической теории, всегда в той или иной форме дает о себе знать опасность кризисного состояния их смычки. Ма­тематика порой перестает «работать». Почему? Пожалуй, прежде

2_6

Всего в силу следующих двух обстоятельств. Во-первых, неудачи сопровождают исследователей тогда, когда они подменяют эконо­мические теории их математическими моделями, т.е. (ЭТ)мтпод­меняется (МТ)ЭТ. Оперирование математической теорией, взятой в свете экономической, может способствовать математике, а эко­номике лишь в отдаленной перспективе. Во-вторых, далеко не всегда достигается стадия (ЭТ)МТ. Если экономическая и матема­тическая теории остаются разобщенными, то это неминуемо при­водит к неудачам. И тогда раздаются жалобы: математика в силу ее формального характера, дескать, не способна выразить содержа­тельные аспекты экономической теории. Но математика и не должна выражать или отображать какие-либо аспекты экономиче­ского дела. Достаточно того, что может существовать и существует соответствие между формальными структурами математики и со­держательными структурами экономической теории. В установле­нии такого рода соответствия экономисты часто добивались и до­биваются в высшей степени значительных успехов. Это позволяет им с оптимизмом оценивать дальнейшие перспективы экономи­ческой теории и математики. В наши дни представителям не толь­ко мэйнстрима, но и институционализма приходится убеждаться, что вне союза с математикой экономическая теория становится немощной и, следовательно, неэффективной.

Заканчивая параграф о взаимосвязи экономической теории и математики, резонно отметить особую роль так называемой вы­числительной математики, занимающейся кругом вопросов, свя­занных с использованием компьютеров. Как правило, решение экономико-математической задачи предполагает: а) разработку алгоритма ее решения; б) создание соответствующей программы; в) ее реализацию на ЭВМ; г) интерпретацию полученного ново­го знания. Непрекращающийся рост быстродействия компьюте­ров сопровождается новыми волнами математизации и инфор­матизации экономической науки. Несколько десятков лет тому назад казалось, что математизация и информатизация экономи­ческой науки в основном необходимы для придания формально­го вида ее законам. В последние три десятка лет ситуация карди­нально изменилась: именно благодаря успехам вычислительной математики и информатики экспериментальный уровень эконо­мической науки достиг ранее невиданных высот. Он во многом определяется успехами эконометрики и экономико-математи­ческой статистики, которые ныне поставлены на компьютерные рельсы.

297

Заметим также, что всемерная математизация и информатиза­ция экономической науки сопровождаются лавинообразным рос­том числа проблем, нуждающихся в философском осмыслении. Экономическое сообщество непременно когда-нибудь осознает, что оно должно создать целый комплекс философских дисциплин, таких, например, как философия эконометрики, философия эко­номической статистики, философия экономической синергетики, без которых осмысление фундаментальных проблем пребывает в интуитивной оболочке.